Rapporto impulsi attuatore e movimento in gradi del Polarmount, quesito matematico

Circa una settimana fa, ho ripreso la sfida non solo di essere in grado di calcolare il numero di impulsi dalle misurazioni del triangolo dell'attuatore (in qualche modo molti appassionati di satelliti sembrano non gradire effettuare misurazioni sulla geometria della loro parabola?), ma anche dall'input pratico di numeri di impulsi già trovati per determinati satelliti.
Non so se ho capito bene quello che hai scritto :eusa_think: ma io non sono tra quelli.

Sono ancora interessato, anche perchè ultimamente ho eliminato un piccolo gioco meccanico sul mio polarmount che lavora con lo stesso attuatore da ben 33 anni...
Questo piccolo semplice lavoro sulla meccanica del polarmount ha fatto si (per vari motivi) che alla fine i conteggi degli step/pulse relativi alle varie posizioni satellitari non corrispondono più a quelli della mia vecchia tabella... per cui anche i calcoli fornitemi da @BOBBYS non sono più validi, dovrei "riconteggiarli"...

Riguardo il tuo lavoro e i tuoi post più recenti, aspettavo che la teoria si tramutasse in qualcosa di concreto per le mie necessità, in base ai pochi dati che richiedi mi sembra più vicino a quanto realizzato da @BOBBYS, senza togliere nulla al tuo lavoro (ancora non ho visionato la tabella) all' apparenza sembrerebbe più "scientifico" e preciso quanto realizzato da @Dreambox59 vedi post # 106 https://www.digital-forum.it/thread...quesito-matematico.217614/page-6#post-7789634 se vuole posso fornirgli tutte le misure del caso riguardo il polarmount Channel Master per mia parabola Channel Master da 120cm.

A tale riguardo prendere l'immagine di cui al post # 93 https://www.digital-forum.it/thread...quesito-matematico.217614/page-5#post-7787986 o le foto al post #95 https://www.digital-forum.it/thread...quesito-matematico.217614/page-5#post-7788119 e restiture le stesse immagine con disegnati i punti delle varie misure richieste, già nel post 106 vengono grossomodo indicate ma se "disegnate" sul polarmount Channel Master si eviterebbe qualsiasi tipo di errore o equivoco, indicare con precisione anche le distanze da misurare sull'attuatore.

Grazie comunque per i vostri lavori e il vostro interessamento.
 
Ultima modifica:
Ho controllato i risultati per alcuni degli altri satelliti della sua lista, per la sua posizione, e ho scoperto che molti dei conteggi degli impulsi calcolati sono entro 2 impulsi dai conteggi degli impulsi che @Foxbat ha scritto.
Tuttavia, in due casi ho trovato conteggi degli impulsi che erano 4 o 6 conteggi fuori. E non ho controllato tutta la sua lista.
Come risultato complessivo, pensi che sia positivo o negativo?

However, in two cases I found pulse counts that were 4 or 6 counts off. And I haven't checked his whole list.
/A33_Actuator_length_and_pulse_count_predictor_--_Output_Calculator_--_Foxbat__dec2025.ods/file[/URL]
Potrebbero essere errati i dati sulla mia tabella originale, dovuti anche alla presenza di piccolo gioco meccanico.

Sto guardando / "studiando" ora la tabella con Libre Office, potrà sembrarti strano ma ho poca confidenza con le tabelle di calcolo, non le ho usate quasi mai... @BOBBYS sicuramente ti saprà dire di più se c'è qualcosa che non va.
 
Ultima modifica:
Sto guardando / "studiando" ora la tabella con Libre Office, potrà sembrarti strano ma ho poca confidenza con le tabelle di calcolo, non le ho usate quasi mai... @BOBBYS sicuramente ti saprà dire di più se c'è qualcosa che non va.
Ad un primo impatto sembrerebbe funzionare :eusa_clap: peccato però si riferisca alla mia vecchia tabella... quella nuova ha numeri diversi...
 
@Foxbat:
Quindi, puoi vedere il conteggio degli impulsi nella colonna con “OUTPUT Pulse Count”? Ottimo. Allora non hai il problema che ha avuto @Dreambox59! (Che stiamo ancora indagando.)

Per i tuoi nuovi conteggi degli impulsi:
Il metodo che utilizza le misurazioni del triangolo dell'attuatore calcola prima le lunghezze dell'attuatore e poi i conteggi degli impulsi da esse.

Questo nuovo metodo, con 4 conteggi di impulsi di 4 posizioni satellitari “disperse” come input, è molto più diretto e, a mio avviso, più semplice.
E matematicamente più accurato della procedura di stima di @BOBBYS, poiché le equazioni utilizzate seguono accuratamente la curva non lineare dei conteggi degli impulsi.

Gli input necessari sono nel post n. 118.

Tradotto da:
@Foxbat:
So, you can see pulse counts in the column with "OUTPUT Pulse Count"? That is nice. Then you don't have the problem that @Dreambox59 had! (Which we are still investigating.)

For your new pulse counts:
The method with using the actuator triangle measurements, first calculates the actuator lengths, and then the pulse counts from that.

This new method, with 4 pulse counts of 4 "scattered" satellite positions as input, is much more direct, and easier I think.
And mathematically more accurate than the @BOBBYS estimate procedure, as the used equations accurately follow the non-linear curve of the pulse counts.

Needed inputs are in post #118.

Ciao,
A33
 
@Foxbat:
Quindi, puoi vedere il conteggio degli impulsi nella colonna con “OUTPUT Pulse Count”?
Si.
Questo nuovo metodo, con 4 conteggi di impulsi di 4 posizioni satellitari “disperse” come input, è molto più diretto e, a mio avviso, più semplice.
E matematicamente più accurato della procedura di stima di @BOBBYS, poiché le equazioni utilizzate seguono accuratamente la curva non lineare dei conteggi degli impulsi.
Su questo non mi pronuncio perché non ne ho le competenze ma sicuramente è come dici.


Gli input necessari sono nel post n. 118.
Qui devi scusarmi, devo fornirti i miei nuovi dati più accurati su 4 posizioni satellitari? :eusa_think:

e se si, va bene se ti fornisco tutta la tabella e poi scegli tu quelle che ritieni più opportune? :eusa_think:

Oppure posso intervenire direttamente io sul foglio di calcolo ammesso sia una cosa semplice? :eusa_think: ma non credo sia così :eusa_think:
 
1. Qui devi scusarmi, devo fornirti i miei nuovi dati più accurati su 4 posizioni satellitari? :eusa_think:

2. e se si, va bene se ti fornisco tutta la tabella e poi scegli tu quelle che ritieni più opportune? :eusa_think:

3. Oppure posso intervenire direttamente io sul foglio di calcolo ammesso sia una cosa semplice? :eusa_think: ma non credo sia così :eusa_think:
1. Sì.

2. No.
Scegliete voi stessi due posizioni satellitari vicine agli estremi (satelliti che potete ricevere) e due posizioni satellitari intermedie (preferibilmente con un numero di impulsi più o meno uguale, ma non è molto importante).
Intendevo dire: (è preferibile che gli intervalli tra i battiti siano più o meno uguali, ma in realtà non è molto importante).

3. No, infatti.
Ma puoi creare/modificare l'elenco delle posizioni dei satelliti da cui desideri il conteggio degli impulsi: celle da D26 a D70.

Tradotto da:
1. Yes.

2. No.
Please choose yourself, two satellite positions near the extremes (satellites that you can receive), and two satellite positions somewhere inbetween (at more or less equal pulse counts is best, but it doesn't really matter a lot).
I meant: (at more or less equal pulse count intervals is best, but it doesn't really matter a lot).

3. No, indeed.
But you can make/alter the list of satellite positions from which you want the pulse count: cells D26 till D70.

A33.


Modificato / edited. Spiegazione più chiara / clearer explanation.
 
Ultima modifica:
Il tuo foglio di calcolo non funziona con OpenOffice, ma ho scaricato una versione precedente di LibreOffice e funziona.
Ecco le mie impostazioni come da te richiesto, in attesa di una versione gratuita del tuo foglio di calcolo.
Grazie.
Your spreadsheet doesn't work with OpenOffice, but I downloaded an older version of LibreOffice and it works.
Here are my settings as you requested, while waiting for a free version of your spreadsheet.
Thanks.

name position local index
Intelsat 14 45.0W 45 49,356 2401
Eutelsat 5 W 05.0W 5 9,356 2000
Astra 1KR 1L 19.2E -19,2 -14,844 1626
Turkmenalem 52.0E -52 -47,644 1023


latitude utilisée 46,312 north
longitude -4,356 east
 
Utilizzando i miei calcoli e i dati di Foxbat, ottengo esattamente gli stessi valori per l'angolo locale (colonna G) nel mio foglio di calcolo Excel.
Per favore, spiegami come hai ottenuto i valori per A, C, D ed E.
Using my calculations and the data from Foxbat, I get exactly the same values for the local angle (column G) in my Excel spreadsheet.
Please explain how you obtained your values for A, C, D, and E.
 
name position local index
Intelsat 14 45.0W 45 49,356 2401
Eutelsat 5 W 05.0W 5 9,356 2000
Astra 1KR 1L 19.2E -19,2 -14,844 1626
Turkmenalem 52.0E -52 -47,644 1023


latitude utilisée 46,312 north
longitude -4,356 east

Non ho idea di cosa non funzioni nel tuo Openoffice, per quanto riguarda i miei file.

Ecco quindi i risultati, nel file allegato.
Io uso la convenzione est = più, ovest = meno; quindi esattamente il contrario di quello che fai/hai fatto tu.


Non so a cosa ti serva il “locale”, sembra essere la longitudine del sito + la longitudine satellitare.
Non è uguale all'angolo orario/angolo di rotazione/angolo USALS.

Come ho scritto prima, ho trovato A, C, D ed E risolvendo 4 equazioni del conteggio degli impulsi dell'attuatore con queste 4 incognite.
Le equazioni del conteggio degli impulsi provengono dai miei calcoli di misurazione del triangolo dell'attuatore, alimentati dai 4 conteggi degli impulsi effettivi.
La risoluzione avviene per eliminazione e sostituzione, se ricordi dalle lezioni di matematica.

Tradotto da:

I have no idea what is wrong with your Openoffice, for my file(s).

So here are the results, in the linked file.
I use the convention east = plus, west = minus; so just the opposite from what you do/did.


I don't know what you use the 'local' for, it seems to be site longitude + sat longitude.
It is not equal to hour angle/rotation angle/USALS angle.

As I wrote before, I found A, C, D and E by solving 4 actuator pulse count equations with these 4 unknowns.
The pulse count equations are from my actuator triangle measurement calculations, fed by the 4 actual pulsecounts.
The solving is by elimination and substitution, if you remember from math lessons.

Ciao,
A33

file:
 
Utilizzando i miei calcoli e i dati di Foxbat, ottengo esattamente gli stessi valori per l'angolo locale (colonna G) nel mio foglio di calcolo Excel.

Ho guardato di nuovo il foglio di calcolo che mi hai inviato via e-mail e ho scoperto che l'angolo orario si trova nella colonna J. Si chiama “angolo An1, angolo parabola”.

“Angolo locale” si trova nella colonna M. Questo termine/nome è quello che hai chiamato angolo USALS/angolo orario/angolo orario locale, credo.
Quindi usi l'angolo orario/angolo USALS, ma non so come. I valori angolari che si trovano nella colonna “angolo locale” non sono angoli orari/angoli USALS, quindi è fonte di confusione.

Tradotto da:


I looked at the spreadsheet again that you emailed me, and the hour angle is in column J, I found. It is called "angle An1, angle parabole".

"Angle local" is in column M. This term/name is what you called the USALS angle/hour angle/local hour angle, I believe.
So you do use the hour angle/USALS angle, but I don't know how. The angle values that are in the column "angle local" are not hour angles/USALS angles, so it is confusing.

Ciao,
A33
 
Se puo' servire...
Da mio foglio calcolo
Angolo USALS_Sat:
Codice:
USALS_Sat = 180/PI.GRECO()*ARCTAN(-COS(E6/(180/PI.GRECO()))*SEN(D6/(180/PI.GRECO()))/(SEN(E6/(180/PI.GRECO()))*COS(D5/(180/PI.GRECO()))-COS(E6/(180/PI.GRECO()))*SEN(D5/(180/PI.GRECO()))*COS(D6/(180/PI.GRECO()))))

dove:
D5 = LatitudineLocalita
D6 = AzimutSat
E6 = ElevazioneSat
tralascio formule calcolo AzimutSat e ElevazioneSat...
 
Non so se ho capito bene quello che hai scritto :eusa_think: ma io non sono tra quelli.

Ti credo, tu non sei uno di loro! :-)

È solo che mi è capitato spesso di incontrare persone che vogliono conoscere la posizione esatta del punto focale della loro parabola, perché il braccio dell'LNB è mancante o danneggiato, e quando mi offro di calcolarla per loro se mi forniscono le misure della parabola, sembra che non vogliano effettuare tali misurazioni. :-(
Quindi mi sembra spesso che fare (lo sforzo di) alcune misurazioni sia al di fuori della loro zona di comfort.
Beh, hanno il diritto di avere la loro zona di comfort e di non volere quel tipo di aiuto, ovviamente.

Il “vecchio metodo” di calcolo del numero di impulsi per l'intero arco richiedeva due misure fisse del triangolo dell'attuatore, due misurazioni del triangolo dell'attuatore (e il numero di impulsi) quando la parabola era puntata su un satellite di riferimento (da qualche parte al centro) e il numero di impulsi di un'altra posizione di riferimento del satellite (o meglio: due numeri di impulsi in altre due posizioni di riferimento (estreme)).

Questo nuovo metodo di calcolo del numero di impulsi per l'intero arco, semplicemente tramite il numero di impulsi di 4 posizioni satellitari, è meno probabile che esuli dalla zona di comfort di chiunque, non credete anche voi?

Tradotto da:

I believe you, that you are not one of them! :-)
It is just that I have encountered many cases where people want to know the exact focal point position of their dish, because the LNB arm is missing or damaged, and when I offer to calculate it for them if they input the dish measurements, they don't seem to want to do those measurements. :-(
So it often seems to me that doing (the effort of) some measurements, is outside of their comfort zone.
Well, they have the right to have their own comfort zone, and to not wanting that kind of help, of course.

The "old method" of calculating pulse counts for the whole arc required two fixed measures of the actuator triangle, two measurements of the actuator triangle (and the pulse count) when the dish is aimed at a reference satellite (somewhere central), and the pulse count of another reference satellite position (or better: two pulse counts at two other (extreme) reference positions).

This new method of calculating pulse counts for the whole arc, just by means of pulse counts of 4 satellite positions, is less likely to be beyond anyone's comfort zone, don't you think so too?

Ciao,
A33
 
Ecco i miei 4 satelliti:

Roma Latitudine 41.90 Longitudine 12.49
M Pulse Sat Pos Name satellite
03 0024 70.5° E Eutelsat 70B
21 0208 42.0° E Türksat 6A
47 0474 1.0° W Intelsat 10-02
67 0601 34.5° W Intelsat 35e

Grazie in anticipo.
 
Ecco i miei 4 satelliti:

Roma Latitudine 41.90 Longitudine 12.49
M Pulse Sat Pos Name satellite
03 0024 70.5° E Eutelsat 70B
21 0208 42.0° E Türksat 6A
47 0474 1.0° W Intelsat 10-02
67 0601 34.5° W Intelsat 35e

Grazie in anticipo.

Ecco il nuovo file. Buona fortuna!

So here is the new file. Good luck with it!

Ciao,
A33

 
Quindi usi l'angolo orario/angolo USALS, ma non so come. I valori angolari che si trovano nella colonna “angolo locale” non sono angoli orari/angoli USALS, quindi è fonte di confusione.

So you do use the hour angle/USALS angle, but I don't know how. The angle values that are in the column "angle local" are not hour angles/USALS angles, so it is confusing.

@Dreambox59 :

Utilizzando la funzione detective, ho seguito l'angolo orario (hour angle) della colonna J nel tuo foglio di calcolo fino alle colonne N e R, dove aggiungi o sottrai 90 gradi.


Questi 90 gradi sono il tuo valore per quello che io chiamo ApexAngle (che in passato chiamavo ambiguamente ZeroAngle) della configurazione del triangolo dell'attuatore? E questo significa che stai supponendo che sia sempre fissato a 90 gradi?
In tal caso, è come se Paul Wade supponesse che il fondo di un piatto sfalsato sia sempre esattamente al vertice: non va bene, crea imprecisioni.
Ma, come ho scritto, non so come hai impostato i tuoi calcoli in quel foglio di calcolo. Quindi potrebbe essere che io abbia frainteso le cose, e che ci sia una spiegazione perfettamente valida.

Tradotto da:


@Dreambox59 :
Using the detective function, I followed the hour angle of column J in your spreadsheet to columns N and R, where you add or subtract 90 degrees.

Are these 90 degrees your value for what I call the ApexAngle (which I called ambiguously ZeroAngle in the old days) of the actuator triangle setup? And does this mean that you are assuming it is always fixed 90 degrees?
When that is the case, it is like Paul Wade assuming that the bottom of an offset dish is always exactly at vertex: not so good, it creates inaccuracies.
But, as I wrote, I don't know how you set up your calculations in that spreadsheet. So it might be that I misunderstand things, and there is a perfectly good explanation.

Ciao,
A33
 
[url=https://postimg.cc/6TSWCh4g][/URL]
Il primo calcolo è l'angolo AN1 (angolo USALS o angolo di stazione reale).
The first calculation is angle AN1 (USALS angle or true station angle).

Il calcolo successivo è la lunghezza del lato del triangolo (BC = L8) formato dal monte tra ABC.Il calcolo successivo è la lunghezza del lato del triangolo (BD = L9).
The next calculation is the length of the side of the triangle (BC = L8) formed by the mount between ABC.The following calculation is the length of the side of the triangle (BD = L9).
 
Ultima modifica:
Ecco il nuovo file. Buona fortuna!

So here is the new file. Good luck with it!

Ciao,
A33

Innanzitutto grazie, prima di dare un "giudizio finale" sulla bontà e sopratutto sulla precisione del tuo lavoro che comunque anticipo mi sembra una gran cosa, posso chiederti se non ti richiede tropo tempo di svilluppare una ennesima nuova tabella con 4 posizioni satellitari di cui i satelliti intermedi sono gli stessi ma quelli agli estremi sono divesi?

Ho capito (come è logico che sia) che la precisione di tutto dipende dai dati pulse forniti da me... ed in alcuni casi è difficile ad esempio fornire un numero preciso... ad esempio i 24 pulse di Eutelsat 70 B a 70,5°E possono/potrebbero essere anche 23 o 25... visto che ora come ora il mio polarmount parte da pulse 0002 (74,9° E ABS2) e si ferma a pulse 0621 (45,0° W Intelsat 14) queste due letture sono da considerarsi le "più stabili e precise" da prendere in considerazione, (questo era il motivo per cui volevo fornirti tutta la mia lista per poi fare vari riscontri).

Con la tabella attuale per 74,9° E ABS2 leggo pulse 0.49 contro i 2 reali... mentre per l'altro estremo 45,0° W Intelsat 14 leggo pulse 622 contro i 621 reali.

Ora un pulse non fa la differenza e volendo anche due, quindi tutto sommato ci siamo, il fatto forse è più "psicologico" leggere pulse 0.49 mentre in realtà sul mio posizionatore per quel satellite che poi è il satellite di partenza leggo 2 è una cosa che per un pignolo come me non è facile da digerire.

Quindi se ti va questi sono gli ultimi dati, poi basta.

Roma Latitudine 41.90 Longitudine 12.49

M Pulse Sat Pos Name satellite
01 0002 74,9° E ABS2
21 0208 42,0° E Türksat 6A
47 0474 1,0° W Intelsat 10-02
72 0621 45,0° W Intelsat 14

Sicuramente con questa nuova tabella per i 74,9° E ABS2 leggerò 2 pulse :smile: vediamo poi le "ripercussioni" su tutti gli altri sat 45,0° W Intelsat 14 compreso, ma anche qui in teoria dovrei leggere 621 anzichè 622, anche se ripeto in questo caso quell'uno non fa differenza sia a livello di segnale ricevuto sia a livello psicologico :smile:

Ripeto, solo se non ti prende troppo tempo e se la cosa non ti indispettisce, altrimenti come non detto :wink:
 
Ultima modifica:
Il primo calcolo è l'angolo AN1 (angolo USALS o angolo di stazione reale).
The first calculation is angle AN1 (USALS angle or true station angle).

Il calcolo successivo è la lunghezza del lato del triangolo (BC = L8) formato dal monte tra ABC.Il calcolo successivo è la lunghezza del lato del triangolo (BD = L9).
The next calculation is the length of the side of the triangle (BC = L8) formed by the mount between ABC.The following calculation is the length of the side of the triangle (BD = L9).

Ora che vedo i passaggi che descrivi (sono identici ai miei), concludo che hai effettivamente preso il valore di 90 gradi (che è quello che ti ho chiesto) per l'angolo al vertice nei tuoi calcoli.

Quando l'hai fatto per la configurazione del triangolo nella foto nel tuo post, immagino che andasse bene, perché l'angolo al vertice sembra effettivamente essere di circa 90 gradi in quella configurazione.
Tuttavia, nella configurazione triangolare di Foxbat (immagine nel post n. 95), ad esempio, sembra essere di circa 80 gradi. Nel tuo foglio di calcolo non vedo che tu abbia tenuto conto di un angolo al vertice variabile per diverse configurazioni nei tuoi calcoli. Si tratterebbe di un'omissione.


Correzione, per aggiungere un dettaglio: l'angolo al vertice di 90 gradi si trova sul lato ovest, quindi nella mia calcolatrice ciò significa MENO 90 gradi.
Gli 80 gradi per Foxbat si trovano sul lato est, quindi sarebbero PIÙ 80 gradi.



Tradotto da:

Now that I see the steps that you describe (they are identical to mine), I conclude that you indeed took the value of 90 degrees (that is what I asked about) for the ApexAngle in your calculations.

When you did that for the triangle setup of the picture in your post, that would be alright I guess, because the apex angle looks indeed to be about 90 degrees in that setup.
However, in the triangle setup of Foxbat (picture in post #95), as an example, it looks to be about 80 degrees. I don't recognize in your spreadsheet, that you accounted for a variable ApexAngle for different setups in your calculations. That would be an omission.


Correction, to add a detail: the apex angle of 90 degrees is on the west side, so in my calculator that means MINUS 90 degrees.
The 80 degrees for Foxbat are on the east side, so that would be PLUS 80 degrees.



Ciao,
A33


Modificato/edited 23dec 09:54
 
Ultima modifica:
... il fatto forse è più "psicologico" leggere pulse 0.49 mentre in realtà sul mio posizionatore per quel satellite che poi è il satellite di partenza leggo 2 è una cosa che per un pignolo come me non è facile da digerire.

In realtà il conteggio degli impulsi per 74,9E è 0,44719512. Spero che tu riesca a digerirlo psicologicamente... ;-)

A proposito di decimali: ho riscontrato un problema con l'arrotondamento di alcune funzioni di Calc. Quando ho confrontato due variabili (IF(A=B;.... ), dove A e B erano esattamente uguali, ma una era stata calcolata tramite alcune funzioni, ho ottenuto un risultato come se non fossero uguali! Il risultato era diverso solo del 10^-12% circa (undici zeri dopo la virgola), quindi in realtà non erano affatto diversi...
Mi era già successo una volta in un calcolo fittizio e ora di nuovo con i tuoi nuovi valori di input. Dovrò riprogrammarlo!


Ecco il tuo nuovo foglio di calcolo. Non credo ci siano grandi differenze rispetto all'ultimo, ma lascio a te l'analisi e la relazione qui sul forum. Io fornisco solo il calcolo.

Dato che si tratta “solo” di risultati di calcoli teorici, penso anche che se i risultati sono davvero entro 2 o 3 conteggi di impulsi dalla realtà per l'intero arco, sono abbastanza soddisfacenti.

Tradotto da:

In reality the pulse count for 74.9E is 0,44719512. I hope you can psychologically digest that... ;-)

Speaking of decimals: I encountered a problem with the rounding of some Calc functions. When I compared two variables (IF(A=B;.... ), where A and B were exactly equal, but one was calculated via some functions, I got the result as if they were not equal! The result was only about 10^-12 % different (eleven zeros behind the comma), so in common sense they really were not different at all...
I had that once before in a fictive calculation, and now again with your new input values. I will have to reprogram that!


Here is your new spreadsheet. Not much difference to the last one I believe, but I leave the analyzing and reporting here on the forum to you. I just supply the calculation.

Given the fact that these are 'just' theoretical calculation results, I also think that if the results are really within 2 or 3 pulse counts from reality for the whole arc, they are pretty satisfactory.

Ciao,
A33

 
Ecco due foto con didascalie; tutto si basa sul teorema di Pitagora!
Here are two photos with captions; everything is based on the Pythagorean theorem!



 
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